01背包问题 🎒及C++代码实现_01背包递归写法C++

在编程竞赛和算法设计中，01背包问题是一个经典的动态规划问题。它涉及到在一个给定重量限制下选择物品，使得总价值最大。这个问题在生活中也有不少应用，比如行李打包或库存管理。

首先，让我们理解一下问题背景。假设你有一个容量为W的背包，以及N种不同的物品。每种物品都有一个对应的重量wi和价值vi。你的目标是选择一些物品放入背包，使得这些物品的总重量不超过W，同时总价值最大。这道题的关键在于如何用最少的空间存储最大的价值，而这正是动态规划的核心思想所在。

接下来，我们来看看如何使用递归方法来解决这个问题。递归方法是一种直观的方法，通过不断地将大问题分解成小问题来求解。我们可以定义一个函数`int knapsack(int i, int w)`，其中i表示当前考虑的物品编号，w表示剩余的背包容量。这个函数返回的是在前i个物品中选择一些物品装入剩余容量为w的背包所能得到的最大价值。

下面是递归函数的一个简单实现：

```cpp

include

using namespace std;

int knapsack(vector &weights, vector &values, int i, int w) {

if (i == 0 || w == 0) return 0; // 基本情况：没有物品或背包已满

if (weights[i-1] > w)

return knapsack(weights, values, i-1, w); // 如果当前物品的重量大于背包剩余容量，则不选该物品

else

return max(knapsack(weights, values, i-1, w),

values[i-1] + knapsack(weights, values, i-1, w-weights[i-1]));

}

```

通过上述代码，我们可以看到递归过程是如何工作的：如果当前物品的重量小于等于背包剩余容量，那么我们有两个选择——要么选择这个物品（这样就要从剩余容量中减去它的重量），要么不选择它。我们比较这两种选择的结果，取最大值作为最终结果。

这就是01背包问题的递归解法，虽然递归可能效率不高，但它为我们提供了一个很好的起点，可以帮助我们理解问题的本质。

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