在数学中，空间向量是描述三维空间内方向和大小的重要工具。当两个向量平行时，它们的方向完全一致或相反，这使得我们可以利用这一特性来推导出它们之间的关系。

假设我们有两个空间向量 a 和 b，分别表示为：

- 向量 a = (x₁, y₁, z₁)

- 向量 b = (x₂, y₂, z₂)

根据向量平行的定义，当且仅当一个向量可以被另一个向量通过标量倍数表示时，这两个向量是平行的。换句话说，存在一个实数 k，使得：

\[

(x₁, y₁, z₁) = k \cdot (x₂, y₂, z₂)

\]

将其分解成三个坐标分量的等式：

\[

x₁ = k \cdot x₂

\]

\[

y₁ = k \cdot y₂

\]

\[

z₁ = k \cdot z₂

\]

从这些等式可以看出，如果两个向量平行，则它们的对应坐标分量之间必须满足比例关系：

\[

\frac{x₁}{x₂} = \frac{y₁}{y₂} = \frac{z₁}{z₂}

\]

需要注意的是，上述比例关系成立的前提是分母不为零，即 \(x₂ \neq 0\)、\(y₂ \neq 0\)、\(z₂ \neq 0\)。如果某些分母为零，则需单独讨论该维度的情况。

例如，若 \(x₂ = 0\)，则要求 \(x₁ = 0\)；若 \(y₂ = 0\)，则要求 \(y₁ = 0\)，以此类推。

此外，在实际应用中，判断两个向量是否平行也可以通过计算它们的叉积来验证。如果两个向量的叉积为零向量，则说明它们平行。设向量 a 和 b 的叉积为 c，则有：

\[

c = a \times b = (y₁z₂ - y₂z₁, z₁x₂ - z₂x₁, x₁y₂ - x₂y₁)

\]

若 \(c = (0, 0, 0)\)，则向量 a 和 b 平行。

总结来说，两个空间向量平行的条件可以用以下公式表示：

\[

\boxed{\frac{x₁}{x₂} = \frac{y₁}{y₂} = \frac{z₁}{z₂}}

\]

或者通过叉积为零向量来验证。

这一结论在几何学、物理学以及工程学等领域有着广泛的应用，尤其是在解决与方向相关的问题时尤为重要。