组合数的定义

组合数 \( C^n_k \) 表示从 \( n \) 个不同元素中选取 \( k \) 个元素的组合方式总数。其计算公式如下：

\[

C^n_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

\]

其中，\( n! \) 表示 \( n \) 的阶乘，即 \( n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 \)。对于 \( C^3_6 \)，我们有 \( n = 6 \) 和 \( k = 3 \)。

具体计算步骤

根据公式，我们将 \( C^3_6 \) 展开并逐步计算：

\[

C^3_6 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!}

\]

首先计算阶乘部分：

\[

6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720

\]

\[

3! = 3 \times 2 \times 1 = 6

\]

将这些值代入公式：

\[

C^3_6 = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20

\]

因此，\( C^3_6 = 20 \)。

实际意义

组合数在许多领域都有广泛的应用。例如，在概率论中，它用于计算事件发生的可能性；在计算机科学中，它用于分析算法的时间复杂度；在生物学中，它用于研究基因组合的可能性等。

回到本题，\( C^3_6 = 20 \) 意味着从6个不同的对象中选择3个对象的方式共有20种。这不仅是一个数学结论，也是解决实际问题的重要依据。

总结

通过上述分析，我们可以清楚地看到，组合数的计算并不复杂，只需掌握基本的阶乘知识即可完成。希望本文能帮助读者更好地理解组合数的概念及其应用，同时激发对数学的兴趣和探索精神。