在数学学习中，三角函数是一个重要的分支，广泛应用于几何学、物理学以及工程学等领域。为了帮助大家更好地理解和掌握三角函数的相关知识，本文将系统整理三角函数的基本公式，并通过实例加以说明。
一、三角函数的基本定义
三角函数通常定义在一个单位圆上，其中角θ的正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别为：
- sinθ = 对边 / 斜边
- cosθ = 邻边 / 斜边
- tanθ = 对边 / 邻边
这些定义可以通过直角三角形或单位圆来直观理解。
二、诱导公式
诱导公式是解决三角函数问题的重要工具，它能够将任意角度转化为特殊角（如0°、30°、45°、60°、90°等）。以下是常用的诱导公式：
1. 奇偶性关系：
- sin(-θ) = -sinθ
- cos(-θ) = cosθ
- tan(-θ) = -tanθ
2. 周期性关系：
- sin(θ + 2π) = sinθ
- cos(θ + 2π) = cosθ
- tan(θ + π) = tanθ
3. 互补角关系：
- sin(π/2 - θ) = cosθ
- cos(π/2 - θ) = sinθ
- tan(π/2 - θ) = cotθ
三、两角和与差公式
两角和与差公式用于计算两个角的三角函数值之和或差。这些公式在求解复杂的三角函数问题时非常有用。
1. 和角公式：
- sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
- cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ
- tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα·tanβ)
2. 差角公式：
- sin(α - β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ
- cos(α - β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
- tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα·tanβ)
四、倍角与半角公式
倍角公式和半角公式可以帮助我们快速计算某些特定角度的三角函数值。
1. 倍角公式：
- sin(2θ) = 2sinθ·cosθ
- cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
- tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)
2. 半角公式：
- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]
- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]
- tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]
五、积化和差与和差化积公式
积化和差与和差化积公式可以将乘积形式转化为和差形式，或者反之，从而简化计算过程。
1. 积化和差公式：
- sinA·sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2
- cosA·cosB = [cos(A-B) + cos(A+B)] / 2
- sinA·cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2
2. 和差化积公式：
- sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]·cos[(A-B)/2]
- sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]·sin[(A-B)/2]
- cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]·cos[(A-B)/2]
六、反三角函数公式
反三角函数是三角函数的逆运算，用于求解已知三角函数值对应的角。
1. arcsin(x) 的取值范围为 [-π/2, π/2]
2. arccos(x) 的取值范围为 [0, π]
3. arctan(x) 的取值范围为 (-π/2, π/2)
七、实际应用示例
假设我们需要计算 sin75° 的值。利用两角和公式，可以将其拆分为 sin(45° + 30°)，然后代入公式：
\[
\text{sin}(75^\circ) = \text{sin}(45^\circ + 30^\circ) = \text{sin}45^\circ \cdot \text{cos}30^\circ + \text{cos}45^\circ \cdot \text{sin}30^\circ
\]
代入已知值 sin45° = √2/2，cos45° = √2/2，sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，最终得到：
\[
\text{sin}(75^\circ) = (\sqrt{2}/2)(\sqrt{3}/2) + (\sqrt{2}/2)(1/2) = (\sqrt{6} + \sqrt{2})/4
\]
以上便是三角函数的基本公式及其应用方法的总结。熟练掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对三角函数本质的理解。希望本文能为你的学习带来帮助！
