【向量积的运算?】在向量代数中，向量积（也称为叉积）是一种重要的运算方式，主要用于三维空间中的向量相乘。与点积不同，向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于原来的两个向量所在的平面，大小则由这两个向量的模和夹角决定。
以下是对向量积运算的基本概念、性质及计算方法的总结。
一、向量积的基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，其结果为一个向量，满足：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、向量积的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 2. 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 3. 零向量性质 | 若 $\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ | ||||||
| 4. 模长公式 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 是两向量夹角 | |
| 5. 垂直性 | 向量积 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所在的平面 |
三、向量积的应用
向量积在物理和工程中有着广泛的应用，例如：
- 计算力矩（Torque）
- 确定平面法向量
- 判断向量是否共线或垂直
- 在计算机图形学中用于计算光照和法线方向
四、向量积与点积的区别
| 特征 | 向量积（叉积） | 点积（标量积） |
| 结果类型 | 向量 | 标量 |
| 几何意义 | 垂直于两向量的向量 | 两向量夹角的余弦值与模长的乘积 |
| 运算方式 | 行列式形式 | 元素对应相乘再求和 |
| 应用场景 | 力矩、法向量等 | 角度计算、投影等 |
通过以上内容可以看出，向量积是一种具有明确几何意义和广泛应用的向量运算方式。掌握其定义、性质和应用，有助于更好地理解三维空间中的向量关系与物理现象。
