【两点式直线方程公】在解析几何中，直线是基本的几何对象之一。已知直线上两点的坐标，可以求出这条直线的方程。这种根据两点求直线方程的方法称为“两点式直线方程”。它是一种直观且实用的公式，在数学、物理和工程等领域都有广泛应用。
一、两点式直线方程的基本概念
设平面上有两点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，若这两点不重合（即 $ x_1 \neq x_2 $ 或 $ y_1 \neq y_2 $），则它们确定一条唯一的直线。该直线的方程可以通过以下方式表示：
$$
\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}
$$
这个公式被称为“两点式直线方程”，也常简称为“两点式”。
二、两点式直线方程的适用条件
| 条件 | 是否适用 |
| 两点不重合 | ✅ 是 |
| 两点横坐标相同（垂直线） | ❌ 否（此时为竖直线，方程为 $ x = x_1 $） |
| 两点纵坐标相同（水平线） | ❌ 否（此时为水平线，方程为 $ y = y_1 $） |
三、两点式直线方程的应用示例
假设已知两点 $ A(1, 2) $ 和 $ B(3, 6) $，求其对应的直线方程。
代入公式：
$$
\frac{y - 2}{6 - 2} = \frac{x - 1}{3 - 1}
$$
化简得：
$$
\frac{y - 2}{4} = \frac{x - 1}{2}
$$
两边同乘以 4 得：
$$
y - 2 = 2(x - 1)
$$
进一步整理为：
$$
y = 2x
$$
四、两点式与其它直线方程形式的关系
| 方程形式 | 表达式 | 特点 |
| 两点式 | $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ | 直接由两个点得出，无需斜率 |
| 斜截式 | $ y = kx + b $ | 需要已知斜率和截距 |
| 点斜式 | $ y - y_1 = k(x - x_1) $ | 需要一个点和斜率 |
| 一般式 | $ Ax + By + C = 0 $ | 更通用，适用于所有直线 |
五、总结
两点式直线方程是一种根据两点坐标直接求解直线方程的方法，具有直观、简洁的优点。但在使用时需要注意两点是否重合以及是否为特殊位置的直线（如水平或垂直）。通过理解不同直线方程之间的关系，可以更灵活地解决实际问题。
| 内容 | 说明 |
| 公式 | $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ |
| 适用条件 | 两点不重合 |
| 应用场景 | 解析几何、图形绘制、工程计算等 |
| 注意事项 | 垂直线或水平线需单独处理 |
