【向量积如何运算】在数学和物理中，向量积（又称叉积）是一种重要的向量运算方式，常用于计算两个向量之间的垂直方向以及面积、力矩等物理量。向量积的结果是一个新的向量，其方向由右手定则决定，大小等于两个向量模长的乘积与夹角正弦值的乘积。

以下是对向量积运算的详细总结，包括定义、性质、计算方法及示例。

一、向量积的基本概念

二、向量积的运算规则

三、向量积的计算方法

1. 代数计算法（使用坐标）

若向量a = (a₁, a₂, a₃)，向量b = (b₁, b₂, b₃)，则：

$$

a × b =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

2. 几何意义

- 当两个向量共线时，向量积为零向量。

- 当两个向量垂直时，向量积的模最大，即a × b = ab。

四、向量积与点积的区别

五、示例计算

已知向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, 5, 6)，求a × b。

$$

a × b =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

\end{vmatrix}

= (2×6 - 3×5)\mathbf{i} - (1×6 - 3×4)\mathbf{j} + (1×5 - 2×4)\mathbf{k}

$$

$$

= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}

= (-3)\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}

$$

所以，a × b = (-3, 6, -3)

六、总结

向量积是向量运算中的一种重要形式，具有明确的几何意义和物理应用。通过代数方法可以方便地进行计算，而理解其方向性和大小关系有助于在实际问题中灵活运用。掌握向量积的性质与计算方法，对于学习高等数学、物理和工程学具有重要意义。